IEEE 浮点数表示

一直以来都不能非常清楚地记住浮点数的表示方式，这段时间开始重读 CSAPP 的第二章中浮点数表示的部分，大致上弄清楚了 IEEE 浮点数的表示方式。

简单介绍一下 IEEE 浮点数的表示方式，细节部分可以参考 CSAPP 和维基

二进制小数表示

首先理解一下十进制小数的表示方式，我们以下面这种方式表示十进制小数：

d_{n}d_{n-1}...d_{1}d_{0}.d_{-1}...d_{m}

表示的值为：

\sum_{i = m}^{n} 10^{i}d_{i}

类似地，二进制小数的表示方式：

b_{n}b_{n-1}...b_{1}b_{0}.b_{-1}...b_{m}

\sum_{i = m}^{n} 2^{i}b_{i}

例如二进制小数

11.01_2 = 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} = 2 + 1 + 0 + 0.25 = 3.25

现在考虑如何对这种二进制小数进行编码，一种可行的方式是定点小数。即将小数点的位置固定。例如使用 16 位二进制数来编码定点小数。可以做如下规定：

第 15 位为符号位。
第 14 ~ 9 位表示小数点前的数
第 8 ~ 0 位表示小数点后的数

那么， $11.01$ 可以编码为 $0 000011 010000000$ 。

这种表示方式的优点是比较简单，但是能够表示的小数的范围就十分的小。不考虑小数点后的数字，这种方式能够表示的整数范围就只能是 $-2^{6}+1 \sim 2^{6} - 1$ 。

于是，考虑到不去固定小数点的位置。而是根据当前的数字来确定小数点的具体位置。这样，就有了一种新的表示小数的方式，即浮点数。以下面这种方式表示（不考虑编码方式）：

V = (-1)^s \times M \times 2^{E}

其中， $s$ 表示符号位， $E$ 表示阶码， $M$ 表示尾数。

通过这种方式，就有了 IEEE 754 浮点数规范。其具体定义了浮点数的位级编码规则。

首先， IEEE 将浮点数编码为 32 位或者 64 位。其中，32 位的规则如下：

第 32 位表示符号
第 31 ~ 23 位表示的值为 $E$ ，其位级表示记为 $exp$
第 22 ~ 0 位表示的值 $M$ , 其位级表示记为 $frac$

64 位编码表示中， $exp$ 长度为 11， $frac$ 长度为 52。与 32 位类似。

根据 $exp$ 和 $frac$ 的表示的不同，IEEE 浮点数规范将浮点数分为 4 类：

规格化数： $exp$ 不为全 0 和全 1
非规格化数： $exp$ 为全 0
无穷大： $exp$ 为全 1 且 $frac$ 为全 0
$NAN$ ： $exp$ 为全 1 且 $frac$ 不为全 0

规格化数

首先 $E = e - Bias$ , 其中 $e$ 为 $exp$ 所表示的无符号数。 $Bias$ 的值为 $2^{k-1}-1$ ， $k$ 为 $frac$ 部分的长度。例如，32 位编码时 $k$ 的值为 $8$ ，于是 $Bias$ 的值为 $127$ ，最终， $E$ 的范围为 $-126 \sim 127$ 。

其次 $M = 1 + f$ ，其中 $f$ 为 $0.f_{n}f_{n-1}...f_{0}$ 所表示的值。这里，通过将 $f$ 加 1 获得了一个额外的表示精度位。

非规格化数

其 $E = 1 - Bias$ ，而 $M = f$ 。

根据该定义，当 $frac$ 为全 0 时， $M = 0$ 。于是：

V = (-1)^s \times E \times 0 = 0

根据 $s$ 的值的不同，得到了表示 0 的两种方式，记为 $+0$ 和 $-0$ 。

无穷大

根据符号位分为 $+\infty$ 和 $-\infty$ 。

总结

一般来说，非规格化数用于表示 $0$ 和非常接近 $0$ 的数。而相对其他能正常表示的数则用规格化数表示，溢出的值则用无穷大表示。当溢出的小数部分为非 $0$ 即可用 $NAN$ （Not A Number)表示。当一些运算的结果不是实数或者无穷时，就会返回 $NAN$ ，比如 $\sqrt{-1}$ 。

写在最后

写技术文章需要严谨、正确，可能我比没有做到。所有如果有疑惑的话，可以学习一下 CSAPP 中和此有关的内容。